Метод.

С разрешения профессора университета К. В. Холшевникова здесь размещается подраздел статьи "Топология и метрика пар кеплеровских орбит", опубликованный в "Физика Космоса: труды 30-й студенческой научной конференции"¹ В этом подразделе предложены четыре естественных метрики. В курсовой работе была вычислена четвертая метрика (формула 18), соответствующая минимальному среднеквадратическому расстоянию между двумя кеплеровскоми орбитами как точками в пятимерном пространстве Е кеплеровских орбит.

Будем теперь считать Е точкой в пятимерном пространстве Е кеплеровских эллипсов. Построим несколько естественных метрик ρ(Е₁,Е₂) в Е. Малость ρ означает, что орбиты Е₁, Е₂ почти совпадают. Для построения расстояния представляется естественным сравнивать точки с одинаковой эксцентрической аномалией. Таким путем получаем равномерную и среднеквадратическую метрики


Наибольшее значение и интеграл берутся по отрезку .
Легко доказать, что все аксиомы метрического пространства выполнены для обеих метрик (10), (11), если исключить круговые орбиты. Иными словами, расстояния (10), (11) определены и топологически эквивалентны в пространстве E₀ некруговых эллиптических орбит. Они разрывны в окрестности хотя бы одной круговой орбиты из пары. Причина очевидна. Например, две компланарные орбиты с одинаковой большой полуосью и почти нулевыми эксцентриситетами почти совпадают независимо от направления апсид. Но оба расстояния существенно зависят от их направления. Чтобы избежать неприятностей, мы должны сравнивать точки, имеющие различные взаимные положения. Хороший способ — ввести следующие метрики:


Наибольшее значение и интеграл берутся по отрезку , наименьшее значение — по отрезку .
Все аксиомы метрического пространства выполнены для обеих метрик (12), (13) во всем пространстве Е, хотя доказательство много сложнее, чем в предыдущем случае, Расстояния (12), (13) топологически эквивалентны и превращают Е в открытое, неограниченное, локально-компактное метрическое пространство. Приведем алгоритмы определения расстояний ρ_k.
1. Обозначим . Очевидно,

где


Первый шаг состоит в нахождении всех вещественных, лежащих на окружности [0,2π) корней уравнения

где

Обозначим через u₀ один из корней (15), дающий наибольшее значение f.
Тогда

2. Интеграл (11) элементарен. Для второго расстояния получаем простую формулу

3. Алгоритм вычисления третьего расстояния столь сложен, что мы не рекомендуем использовать его на практике.
4. Интеграл в (13) элементарен

Здесь

где

Поскольку , получаем окончательно